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大好き★代数幾何 Part 3

1 :132人目の素数さん:2005/06/27(月) 20:13:26
代数幾何に関する話題なら何でもOK。
現在 スペクトル系列に関する演義が
進行中!

前スレ:
大好き★代数幾何
http://science2.2ch.net/test/read.cgi/math/1065022897/
同 part 2
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1070510931/

2 :799:2005/06/27(月) 20:32:30
>>1
そろそろネタなくなってきた
なんか質問ある?

3 :132人目の素数さん:2005/06/27(月) 20:45:21
>>799
荒らすな馬鹿

4 :132人目の素数さん:2005/06/27(月) 20:47:39
位相幾何のほうでは色々なスペクトル系列があるようですが、
それらと代数幾何で用いられるものとの相違点はなんでしょうか?
(素人の発想ですみません。)


5 :799:2005/06/28(火) 09:25:09
代数幾何では2重複体から得られるスペクトル系列を主に使う。
位相幾何では、2重複体も使うが、その他に空間自体のフィルターを
使うケース(例えばSerreのファイバー空間)とフィルター付複体とは
無関係に得られるスペクトル系列(exact coupleを使う)がある。
位相幾何の方がスペクトル系列の勉強には適していると言えるだろう。
前にも書いたけど、ホモロジー代数を真に理解するには位相幾何の知識
は必須だろう。

6 :132人目の素数さん:2005/06/28(火) 12:14:24

代数幾何におけるスペクトル系列の意義とは何ですか?

7 :799:2005/06/28(火) 12:27:10
主に層係数コホモロジー群の(理論上での)計算に使う。
具体的に計算出来なくても、スペクトル系列から有益な情報が
得られる。例えば、前スレの最後で述べたような完全系列が
得られる。

8 :799:2005/06/28(火) 12:30:44
分かってるだろうけど、念のために言うと、>>2は俺じゃない。

9 :799:2005/06/28(火) 12:48:01
前スレの続き。

念のために補足する。
スペクトル系列の一般項 E_r(p,q) において、p と q は対等の関係
にあるわけではない。p のほうが重要だし、全次数 n = p + q も
重要である。もちろん、p, q , n の3者のうち、どれか2つ決まれば
あとの1つも決まる。だが、どちらかというと、p と n の組が重要だ。
例えば、E_r(p,q) から出る微分射の標的が具体的にどうだったかを
思いだすとき、覚えておくのは、p が p + r に移ることと、全次数
n が n + 1 に移ることだけでいい。だが、全次数 n が n + 1 に
移ることは微分射の定義から明らかだから、覚えるほどのことでもない。
しかも、p が p + r に移ることも定義そのもの。
このことから、E_r(p,q) → E_r(p+r,q-r+1) はすぐ出る。
同様に E_r(p-r,q+r-1) → E_r(p,q) もすぐ出る。

10 :799:2005/06/28(火) 13:06:58
スペクトル系列 (E_r(p,q)) の応用において具体的な意味があるのは、
E_1(p,q) と E_2(p,q) だけと言ってもいい。r が3以上の E_r(p,q) は
表にはまず出てこない。だから E_2(p,q) ⇒ H^n のような書き方で
充分なわけだ。このことからも、スペクトル系列の理論というのは
見かけほど複雑なものではないとわかるだろう。

11 :799:2005/06/28(火) 17:48:06
>>9
>p のほうが重要だし、全次数 n = p + q も重要である。

これちょっと変だな。無視してくれ。

12 :132人目の素数さん:2005/06/28(火) 18:06:45
日本数学会が「間違い理論」に代数学賞を献上!

藤原一宏氏の業績
>谷山ー志村予想についてのワイルズの結果をヒルベルト・モジュラー形式に拡張することを試み、
>これについても著しい結果を出している。とくに、テーラー・ワイルズの方法を公理化した可換
>環論的手法は強力であり、すでに多くの研究者によて利用されている。藤原氏のこの方面の研究は
>ヒルベルト・モジュラー形式に止まらず、多変数の保型形式の理論に大きな影響を与えつつある。
http://www.math.wani.osaka-u.ac.jp/group/numberth/algebra/daisugakusho.html#fujiwara

13 :132人目の素数さん:2005/06/28(火) 18:34:12
間違ってても,手法として有用であれば問題ないじゃん

14 :132人目の素数さん:2005/06/28(火) 19:25:41
間違った手法を使ってよければ、間違った結論が
いくらでも導けますが

15 :132人目の素数さん:2005/06/28(火) 19:27:54
いろんな結論(←間違ってるかもしんない)が導けてまうので、
有用なんですなあ〜。www

16 :132人目の素数さん:2005/06/28(火) 19:33:16
そうじゃなくて,結果として間違ってても
手法自体はその後の数学に影響を与えることは
十分にありうる,と書いただけですが

だれも間違った証明でOKだとか
間違った定理を適用してないなんて言ってない

17 :132人目の素数さん:2005/06/28(火) 19:37:47
> 手法自体はその後の数学に影響を与えることは
> 十分にありうる
あくまで可能性ね。それはそうだ。

ただ、禿藁理論は正しいことを前提に使われて
賞も出た。証明は間違ってたけど、手法は有用
だから使われて賞も出た、って話ではないから

18 :132人目の素数さん:2005/06/28(火) 19:38:39
799さんの話が理解できるレベルってどれぐらい?
学部3年には無理だよな・・・
799さん自体、プロの方なのかな?

19 :132人目の素数さん:2005/06/28(火) 19:39:36
禿藁理論は正しいことを前提に使われて賞も出たのであって、
証明は間違ってたけど手法は有用だから使われて賞も出たって
話ではないから

20 :132人目の素数さん:2005/06/28(火) 19:40:40
>>19
「正しい」という前提がそもそも間違ってた訳で…

21 :132人目の素数さん:2005/06/28(火) 20:17:15
伝説の藤原理論も終わりか

22 :132人目の素数さん:2005/06/28(火) 20:23:31
どえらい関手とスペクトル系列についてはどこみたらいいですか?

23 :132人目の素数さん:2005/06/28(火) 22:05:39
どえらい関手とスペクトル系列はどこみたらいいですか?


24 :24:2005/06/28(火) 22:50:42
2=√4



25 :799:2005/06/29(水) 09:22:23
>>18
今迄、加群の基礎的なことしか前提としてない。
圏論のごく初歩の知識もあるとよい。
ただし、代数幾何への応用となると当然それだけではすまないが。
因みに、当然俺はプロではない(プロだったらこんなことしてるヒマあったら論文書くって)。

26 :799:2005/06/29(水) 09:44:35
>>25
>今迄、加群の基礎的なことしか前提としてない。

あとホモロジー代数の初歩、例えば複体の定義だとか、
ホモトピーだとかも仮定している。

27 :799:2005/06/29(水) 09:47:27
出来ればアーベル圏についても知っておいて欲しいんだが、
これはちょっと酷か? アーベル圏については今説明してもいいんだが、
それだと流れが途切れる。

28 :132人目の素数さん:2005/06/29(水) 10:45:05
代数幾何のスペクトル系列といったら、合成関手の導来関手に関する
Grothendieck SS が主だな。

29 :799:2005/06/29(水) 11:16:23
前スレの>>943からの続き

2重複体 K = (K^(p,q)) において、
q < 0 のとき K^(p,q) = 0 とする。
つまり非零のK^(p,q)は上半平面のみにあるとする。
K の第一フィルターは以下のように定義された(前スレの>>942)。

2重複体 K の部分複体 'F^p(K) を以下のように定義する。

i≧p のとき 'F^p(K) の(i,j) 成分は K^(i,j)。
i < p のとき 'F^p(K) の(i,j) 成分は 0。

('F^p(K)) を K の第1フィルターと呼ぶ。

n を固定する。n = i + j で i > n とすると j = n - i < 0
よって、p > n なら 'F^p(K^n) = 0 となる。
ここで、 K^n = ΣK^(i,j) for n = i + j
つまり、K^n = Tot^n(K) である(前スレの>>941)。
よって、Tot(K) の第1フィルターは、正則である
(正則の定義は前スレの>>891)。

Tot(K) の第2フィルターは、一般に正則ではない。

30 :132人目の素数さん:2005/06/29(水) 11:17:23
>>27
Tohoku論文の歴史的意義も含めて、ちょっと聞いてみたいです。

31 :799:2005/06/29(水) 11:23:17
>>28
まあそうなんだけど、実は、2重複体のスペクトル系列も、
超コホモロジーのそれもGrothendieckのスペクトル系列と
見なせる。この辺を意識して、前スレの>>946を書いた。

32 :4:2005/06/29(水) 11:35:54
>>5
ご返答、感謝します。

面白そうなものがヒットしたので、参考までに貼っておきます。
http://www.math.cornell.edu/~hatcher/#anchor1772800
http://www.math.uiuc.edu/K-theory/0245/


33 :799:2005/06/29(水) 11:54:22
>>30
今やると流れが途切れるんで、後でやることにする。

34 :799:2005/06/29(水) 13:58:45
2重複体 K = (K^(p,q)) において、
p < 0 または q < 0 のとき K^(p,q) = 0 とする。
つまり非零のK^(p,q)は第一象限のみにあるとする。
このとき、K の第1フィルターと第2フィルターは共に正則である。

同様に、第3象限にある2重複体の第1フィルターと第2フィルターも
正則である。

35 :799:2005/07/04(月) 09:20:57
Grothendieckのスペクトル系列を説明するのはいいけど、これを代数幾何に
応用するとなると生半可な知識では難しいということに気が付いたw
例えば、連接層の固有射による高次元順像の有限性定理とかSerreの
双対定理に使われるんだけど、これらはスペクトル系列以外の準備が大変。

36 :799:2005/07/04(月) 11:00:17
代数幾何におけるコホモロジー論の主要なものとして以下の4結果がある。

・射影スキームのコホモロジーに関するSerreの定理。
・固有射による連接層の高次順像の連接性。
・形式スキームのコホモロジーとその応用としてのZariskiの定理。
・Serreの双対定理。

37 :799:2005/07/04(月) 11:02:41
上の4つのうち、最初と最後の2つがSerreによるもので、
後はGrothendieckによる。

38 :132人目の素数さん:2005/07/05(火) 15:03:55
アナレンには崩れのゴミ論文がイパーイ

39 :799:2005/07/05(火) 18:21:23
ある環 R 上の左加群のなす圏 R-Mod はアーベル圏となる。
さらに、R-Mod における複体の全体もアーベル圏となることが容易に
わかる(演習問題としよう)。
一般にあるアーベル圏 C における複体の全体はアーベル圏となる。
この圏を Kom(C) と書く。すると Kom(C) の Kom つまり Kom(Kom(C))
が考えられる。これを Kom^2(C) と書こう。これは C における
2重複体のなす圏と見なせる。同様に続けて Kom^n(C) が定義され、
これは C におけるn重複体のなす圏となる。

さて、C に十分多くの単射的対象があると、Kom(C) にも十分多くの
単射的対象がある。この証明は後で述べる。
よって、Kom(C) の任意の対象 K にたいして、単射的対象による分解
X = (X^q) が得られる。つまり、完全系列

0 → K → X^0 → X^1 → X^2 → ...が得られる。

X は、複体を要素とする複体だから2重複体である。
各 X^q のp次成分を X^(p,q) と書こう。q は非負整数だから
2重複体 X = (X^(p,q)) は上半平面にある。

40 :132人目の素数さん:2005/07/05(火) 21:45:44
>コネも作れない、一発凄い仕事もできないじゃあ
>論文10本一流誌3本崩れで終わっちゃうよ、今は。

崩れ博士・PD研究スレッド PART2
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1115731497/848

41 :799:2005/07/06(水) 09:16:32
訂正

>>39
>さて、C に十分多くの単射的対象があると、Kom(C) にも十分多くの
>単射的対象がある。

Kom(C) に十分多くの単射的対象があるとは限らない。
Kom+(C) にはある。
ここで、Kom+(C) というのは C における非負の複体全体のなす
アーベル圏である。
よって>>39の K は非負複体であり、その単射的対象による分解
X = (X^(p,q)) は第一象限にある。

42 :132人目の素数さん:2005/07/06(水) 13:51:59
崩れ博士・PD PART3【コネの造りしもの】
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1120573848/

43 :132人目の素数さん:2005/07/06(水) 14:05:30
埋めるな死ね

44 :132人目の素数さん:2005/07/07(木) 06:31:22
>>41
>Kom(C) に十分多くの単射的対象があるとは限らない。

やっと気がついたか馬鹿

C が可算直積に付いて閉じていれば
>さて、C に十分多くの単射的対象があると、Kom(C) にも十分多くの
>単射的対象がある。

45 :799:2005/07/07(木) 09:35:53
>>44
>C が可算直積に付いて閉じていれば

これは必要ない。>>41は俺の勘違い。

>やっと気がついたか馬鹿

誤解してるかもしれないので言っておくけど、俺はここで本を書いてるわけ
ではない。2chに気楽に書きなぐってるだけ。間違いがあるのは当たり前。
出来るだけ間違いは訂正するつもりだが、それを急を要する義務とは考えて
いない。

46 :132人目の素数さん:2005/07/07(木) 09:41:40
漏れは兄弟Bコース生。常々、思ってたこと書いちゃいます

The 数学者
給料安い、雑用多い、キモイ
すなわち、人生の負組み代表

47 :132人目の素数さん:2005/07/07(木) 11:31:22
給料でしか人生を図れない馬鹿な奴。アメリカの風潮か。だからアメリカはいまいち数学が駄目なんだな。

48 :132人目の素数さん:2005/07/07(木) 19:06:22
給料でしか人生を図れない馬鹿な奴。学力低下の風潮か。だから若手は数学が駄目なんだな。

49 :132人目の素数さん:2005/07/07(木) 21:15:16
http://www.mym-hp.com/user-cgi-bin/himabbs/tinies.cgi?room=13579
ヘッ

50 :799:2005/07/11(月) 09:42:05
今時スペクトル系列をやるならやっぱり導来圏もやらないとまずいかな。
導来圏を使ってEGAの第3章の後半(第2分冊)を書き直すのもいいかも。
そうすると、このスレまだまだ先は長いな。

51 :799:2005/07/11(月) 10:07:28
>>41
>ここで、Kom+(C) というのは C における非負の複体全体のなす
>アーベル圏である。

通常の記法とあわせるため、これから非負の複体全体のなすアーベル圏
をKom≧0(C)と書くことにする。Kom+(C) は下に有界な複体全体のなす
アーベル圏をあらわすととする。

52 :799:2005/07/11(月) 10:38:10
これから>>39 の証明に入るが、その準備として、複体の写像錘、
分裂複体(split complex)などについて述べる。

K = (K^p) をアーベル圏 C における複体とする。
整数 n を固定したとき、K[n]^p = K^(p+n), d[n]^p = (-1)^n・d^(p+n)
と定義して、複体 K[n] = (K[n]^p, d[n]^p) が得られる。

L^(-n,q) = K^q
p ≠ -n のとき L^(p,q) = 0
と定義すると2重複体 L が得られる。
つまり K を q-軸(つまりY-軸)上に置いたとして、それを -n だけ
平行に移動したものが L である。
L の1重化 Tot(L) が K[n] である。

53 :n-圏:2005/07/12(火) 11:32:18

アーベル圏を対象とするような圏はまたアーベル圏になるんんですか?

54 :799:2005/07/14(木) 13:34:25
f: K → L を複体の射とする。
これから f の写像錘と呼ばれる複体 Con(f) を以下のように定義する。
Con(f)^n = K^(n+1) + L^n とし、
微分射 d^n: Con(f)^n → Con(f)^(n+1) を
(x, y) → (-d(x), -f(x) + d(y)) により定義する。

d: (x, y) → (x', y') としたとき、
x' = -d(x)
y' = -f(x) + d(y)
だから、
これを行列表記で書くと

|x'| = |-d 0| |x|
|y'| |-f d| |y|

となる。

行列の積
|-d 0||-d 0|
|-f d||-f d|
を計算すると
|(-d)^2 0 |
|fd - df d^2|
となり、これは0行列である。
これから、Con(f) は確かに複体であることが分かる。

55 :132人目の素数さん:2005/07/18(月) 12:34:48
何でこんなこと(ホモロジー代数)をやってるかということを忘れないように
言っておくと、これを代数多様体における層係数コホモロジーに応用
するため。じゃあ何で層係数コホモロジーが大事かというと、
連接層Fの大域切断のなす加群Γ(X, F)に幾何的に重要なものが多いから。
例えばある因子Dに極を持つ有理関数のなす加群はこのようなものとなる。
正則微分のなす加群もそう。

56 :799:2005/07/20(水) 17:41:03
写像錘は写像柱(後で述べる)と共に導来圏の理論で重要である。
これらは代数トポロジーの対応する概念と関連付けるのが教育的だが、
それは後回しとして、ここでは代数的な説明をする。

f: K → L をアーベル圏 C における複体の射とする。
f: K → L は(両側に0を補って) Kom(C) における複体つまり
2重複体とみなせる。
これが符号の違いを除いて写像錘 Con(f) となる。
我々の符号規則(前スレの>>941)に適合するようにしたいなら、
以下のように2重複体を定義する。
まず L を縦にして、Y-軸上に置く。
K もY-軸に平行に置くが、X-座標は-1とする。
つまり2重複体 M を
M^(0,q) = L^q
M^(-1,q) = K^q
M^(p,q) = 0 (p ≠ 0, -1)
として、第1微分(=水平微分) d' は -f から得られるものとし:
-f: M^(-1,*) → M^(0,*)
第2微分(=垂直微分) d" は、K , L のそれぞれの微分から得られる
ものとする。
M の一重化 Tot(M) が f の写像錘 Con(f) となる。

57 :132人目の素数さん:2005/07/21(木) 11:30:37
いま桂利行の代数幾何入門
http://www.kyoritsu-pub.co.jp/texthp/sugaku/01569-X.html
よんでます。この本読むのに必要な予備知知識って何ですか?
位相と代数・ガロア理論ぐらいしかしらないけど大丈夫ですか?




58 :132人目の素数さん:2005/07/21(木) 11:58:10
>>57
環上の加群の線形代数も必要だろうな。テンソル積とかHomとか。
ただし、必要な知識は、必要になった時点で仕入れるというのも
実戦的でよい。

59 :57:2005/07/21(木) 23:19:30
>>58
松坂和夫「代数系入門」4章程度で十分?

60 :132人目の素数さん:2005/07/22(金) 10:49:59
>>57
>>59

その本の前書きに必要な予備知識について書いてないのか?

61 :132人目の素数さん:2005/07/22(金) 10:58:13
>>59
一応だいじょうぶなんじゃない?
とりあえず読み進めてみるべし。

62 :132人目の素数さん:2005/07/22(金) 11:13:06
そう。数学書を読むのに必要な予備知識を全部取得してから
というのは効率の悪いやり方。準備だけで終わることに
なりかねない。ただ、これも程度問題で、兼ね合いが難しいのは確か。

63 :132人目の素数さん:2005/07/22(金) 20:36:44
>>62の意見は鋭いと思う今日この頃です(^^;

64 :132人目の素数さん:2005/07/26(火) 21:14:12
>>57
「桂利行の代数幾何入門」 は,面白いですか?

65 :132人目の素数さん:2005/07/27(水) 00:04:30
すいません。代数幾何のスレをいまさらながら見つけました。
少しマルチ気味ですが許してください。

(斉次)n変数多項式による代数超曲面
のホモロジーorコホモロジーもしくはmixed Hodge numberでも良いので、
これらを多項式の次数またはほかのパラメタを使って
表す公式のようなものってありますか?
載っている本or論文とかあったら教えてください。
もしくは、一般の場合は計算されていないのでしょうか?

申し訳ないのですが、代数幾何は初心者です。


66 :132人目の素数さん:2005/07/27(水) 03:11:40
age

67 :132人目の素数さん:2005/07/27(水) 08:59:33
>>65

ヒルゼブルフの「代数幾何学における位相的方法」に超曲面のベッチ数の
計算方法が載っていたと記憶している。参考論文も書いてあったと思う。
最近の論文は知らない。

68 :132人目の素数さん:2005/07/27(水) 13:22:11
>>67
ありがとうございます。
探してみます。

69 :132人目の素数さん:2005/07/27(水) 17:21:32
探すっつっても結構古いよこの本。

70 :132人目の素数さん:2005/07/27(水) 17:36:51
>>65  トーリック多様体の超曲面のホッジ構造なら
http://xxx.yukawa.kyoto-u.ac.jp/PS_cache/alg-geom/pdf/9306/9306011.pdf
射影空間の超曲面の場合だけを知りたければ上の論文の1ページ目に
引用されている論文を参照。


71 :799:2005/07/27(水) 18:31:41
>>54の続き

言い忘れたが、アーベル圏の対象とその射はあたかもある環上の
加群の圏の対象と射のように扱う。無限個の対象を一度に扱う場合、
例えば無限直和を扱う場合などを除けば、このように考えて問題
ないことは、(小さい)アーベル圏のある環上の加群の圏への
埋め込み定理から保障される。

f: K → L を複体の射とする。

α: L → Con(f) を α(y) = (0, y)
β: Con(f) → K[1] を β(x, y) = x
で定義する。

αd(y) = (0, d(y))
dα(y) = (0, d(y))
だから、αは複体の射となる。

K[1]の微分は、K の微分を d としたとき -d となる規約を
思い出そう(>>52)。
βd(x, y) = -d(x)
dβ(x, y) = -d(x)
だから、βも複体の射となる。
よって、、以下の完全列が得られる。

0 → L → Con(f) → K[1] → 0

72 :132人目の素数さん:2005/07/28(木) 13:33:27
>>69
(数学科の)大学図書館にはあるだろう。なければ、その大学はやめたほうがいい。

73 :132人目の素数さん:2005/07/28(木) 13:35:48
>>69
 on demand で出版されているはず。

74 :799:2005/07/28(木) 17:53:32
完全列

0 → L → Con(f) → K[1] → 0

の連結射∂を求めよう。

x を K[1] のサイクル、つまり dx = 0 とする。
β(x, 0) = x で、d(x, 0) = (-d(x), -f(x)) = (0, -f(x))だから
(>>54)、∂[x] = [-f(x)] となる(Part2の>>807を参照)。
ここで、[x] は サイクル x のコホモロジー類を表す。
つまり、連結射∂は符号を無視すれば f から誘導されたものになる
(f も -f も同じ核と像を持つ)。
よって、コホモロジー完全系列

→ H^n(L) → H^n(Con(f)) → H^(n+1)(K) → H^(n+1)(L) →

が得られる。

f がコホモロジー群の同型を誘導すれば(このような f を擬同型と呼ぶ)
H^n(Con(f)) = 0 となる。写像錘 Con(f) の重要性の1つはこの性質から
来ている。

75 :132人目の素数さん:2005/07/30(土) 00:57:02
個誘致と退化ク化について生姜九世でもわかるようにおしえてください

76 :132人目の素数さん:2005/07/31(日) 18:53:56
>>69
和訳も出てましたが。
どうも、公式のようなものは見つかりませんでした。
リーマン・ロッホはあったけど。
もしよければページとか教えて頂けないでしょうか?

77 :132人目の素数さん:2005/07/31(日) 18:57:30
>>70
すみません。
ページが見つからないと出ます。

78 :132人目の素数さん:2005/07/31(日) 20:57:31
>>77
arXiv の alg-geom/9306011

79 :132人目の素数さん:2005/08/01(月) 12:14:42
>>78
どうもありがとうございました。
見つけることが出来ました。
・・・因みにarXivって何なんですか?
論文のリンク集?

80 :132人目の素数さん:2005/08/01(月) 12:20:54
プレプリントサーバじゃねえの
査読前の論文を集めてるところだっけ

81 :132人目の素数さん:2005/08/01(月) 13:47:17
archive

82 :132人目の素数さん:2005/08/04(木) 18:29:25
208をここで待ち伏せしていいのか

83 :132人目の素数さん:2005/08/04(木) 18:49:41
いいけど、今オイラースレに出演中で忙しい。

84 :192@ガロア理論:2005/08/04(木) 20:22:30
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。

85 :132人目の素数さん:2005/08/05(金) 15:36:30
来ないね 遅いね

86 :132人目の素数さん:2005/08/05(金) 15:41:40
5次方程式の一般解は求められません。

87 :799-208:2005/08/05(金) 15:47:54
今は虚数乗法を思い出すのに忙しい。

88 :132人目の素数さん:2005/08/05(金) 15:56:24
虚数情報って あれだろ あの ホーキングが垂れてる
いや それは 虚数時間じゃないの
おんなじようなものだよね
情報ってつくと 何となくいかがわしい

89 :799-208:2005/08/05(金) 16:06:30
釣りだろ?

90 :132人目の素数さん:2005/08/05(金) 16:11:52
釣れないね

91 :132人目の素数さん:2005/08/05(金) 16:17:02
虚数乗法って レムニスケートを(1+i)等分するって やつ?

92 :132人目の素数さん:2005/08/05(金) 17:02:40
さっぱり

93 :132人目の素数さん:2005/08/07(日) 11:33:10
>>70
引用の論文は見つかりましたが。
4つもあって、どれだかすら分からんのです。
やっぱり知識が足りないって事でしょうか。
出来ればどの論文だか教えてもらいたいです。

94 :132人目の素数さん:2005/08/08(月) 15:23:41
雷が鳴ったよ 怖いね

95 :132人目の素数さん:2005/08/15(月) 18:29:43
Cartier因子群 → Picard群が全射にならない例ってどんなのがありますか?

96 :132人目の素数さん:2005/08/17(水) 07:06:01
Polish space

97 :132人目の素数さん:2005/08/18(木) 20:23:43
バンドルってなんですか?

98 :132人目の素数さん:2005/08/18(木) 20:39:17
パソコンを買ったときにソフトがバンドルされている
(プレインストールされている)
等と云うのだよ

99 :GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w :2005/08/18(木) 20:40:17
talk:>>97 接空間の寄せ集めたものを接バンドルといったり、ファイバーを集めたものをファイバーバンドルといったりするようなやつだ。

誰か、バンドルという言葉の説明頼む。

100 :100:2005/08/19(金) 07:41:16

ゲージ理論の本に書いてあるよ。

101 :132人目の素数さん:2005/08/23(火) 22:10:15
代数幾何の参考書についてお尋ねしたいのですが.
私は超弦理論を研究している若い物理学者(ということにして下さい)なのですが,
数学的な論文を読むと,代数幾何の言葉が使われていることがあって,
勉強できたらいいなあと常々思っています.

そこで,証明などは載っていなくても良いので,全体が見通せるような初学者向け
で,かつ先端的なことまで分かるような講義録・参考書等がありましたら
教えていただきたいのです.

例えば, sheafやderived category などの概念がいまひとつ理解できません.
論文に現れると, vector bundle の section とかに脳内変換して
読んだつもりになってしまいます. Cech cohomology も de Rahm cohomology や
Dolbeult cohomology に置き換えて急場をしのぐ感じです.

102 :132人目の素数さん:2005/08/23(火) 22:11:09
もう少し,自分の数学のレベルとか申告しますと,
物理(超弦理論)で必要な最低限は(物理的に)理解しているつもりです.
具体的には,
de Rahm cohomology や Dolbeult cohomology, index theorem,
equivarent cohomology と localization theorem,
K theory, Morse 理論, Riemann 面の moduli 理論
toric 幾何 や mirror symmetry, GW 不変量などは
物理に必要な範囲では,普通に経路積分を使って
計算したりできると思ってます(修行は足りませんが).

どうかよろしくお願いします.

103 :132人目の素数さん:2005/08/23(火) 22:13:55
>>101-102
なんかスゲ―人が来た・・・スゲ―

104 :132人目の素数さん:2005/08/24(水) 00:00:03
>>101

>例えば, sheafやderived category などの概念がいまひとつ理解できません.
>論文に現れると, vector bundle の section とかに脳内変換して
>読んだつもりになってしまいます

>物理(超弦理論)で必要な最低限は(物理的に)理解しているつもりです.

これが本当なら、読んでいる論文の結論の意味を把握でき、自分の言葉で
再構築できるだろう。

物理には sheafやderived category などでなければ表現できない物など無い。
sheafやderived category などを使えれば理解を整理し易いと云う場合はあろう。
実は、たまたま sheafやderived category などを使える人間が、これで表現して
見たと云う事で、最後の結論の為に必要と云う事は無い。

105 :sage:2005/08/24(水) 10:23:38
>>104さん
もしかして物理の方ですか?
私の実力が低いのは認めますが,だからといって
私が代数幾何の勉強をしてはいけない言うことにはならないでしょう.

例を出しますと(数学の方には未定義の物理用語が混ざっててすみません)
D-braneの最も粗い近似では一方で Fukaya category で, その mirror は
derived category で記述されます.
ある人は, D-brane の物理を理解しようとしたら
必ず derived category を再発見するとまで言います.

もちろん, 普段の研究で D-brane を使って物理をする時は,
(AdS-CFT 対応や gauge 理論の研究, 4D model building 等)
derived category の知識が無くても大抵は間に合います.
でも, 上のように言われると気になるではないですか?
そこで,速成できたらと思ってるわけです.

おっしゃるように再構築が自分でできれば越したことはありません.
skyscraper sheaf が anti D0-brane とかそういった解釈ができるのは
ありがたいものです. しかし, それを自分で全部やると言うのは,時間的にも
能力的にも辛いものがあるのは事実です(他の研究した方が目先の利益に
なりますし).


106 :132人目の素数さん:2005/08/24(水) 10:37:27
さしあたって
Gelfand-Manin の Homological Algebra(の厚い方)がいいんじゃない?

107 :132人目の素数さん:2005/08/24(水) 18:19:34
>>105

derived category は hartshorne の「residues and duality」 springer(絶版) の第1章
sheaf は iversen の「層のコホモロジー」springer (derived categoryでsheafを扱っている)
がいいですよ。
>>106のGelfand-Manin「methods of homological algebra」springer も derived category ですね。
105さん。お返しに数学屋がD-braneの物理を理解するのに適した本を紹介して下さい。


108 :107:2005/08/24(水) 18:29:44
>>105

次の論文も紹介しておきましょう

http://jp.arxiv.org/abs/math.AG/0001045

大サービス

109 :132人目の素数さん:2005/08/24(水) 18:31:53
WeibelのHomological Algebraもderived categoryを扱ってる。
分かりやすいと思った。
ただし、層は詳しくない

110 :132人目の素数さん:2005/08/24(水) 18:48:27
でもなにがどうなって導来圏なんか物理ででてくるんだろ?
そもそもD-braneってなんじゃ?ある種の微分方程式の解みたいなもんかいな?
とかいってみるテスト。

111 :132人目の素数さん:2005/08/24(水) 20:49:37
皆さん情報ありがとうございます.
幾つか見繕ってチャレンジしてみたいと思います.

D-brane と言うのは,その上に gauge 場(例えば holomorphic vector bundle)
が住んでいらっしゃる超曲面でして,よく考えるのは Calabi-Yau 多様体上の
(special) Lagrangian submanifold または holomorphic submanifold に
埋め込まれているものを考えます.
これ(とその上の vector bundle)を分類するのに,色々な方法があるのですが,
例えば derived category of coherent sheaves を使います.

私の当面の目標でもありますが,
http://arxiv.org/abs/hep-th/0403166
(ひょっとすると D-brane に興味ある方の参考にもなるかもしれません)
なんかをすらすら読めるようになりたいと思っています.
spectral sequence とか可換図式とか見ると頭痛がしてくるのですが,
この4章とか分かりやすく書けていると思いますか?

ちなみに, derived category や Fukaya category での分類は物理的には
最低次の近似に過ぎませんので, 最終的にはそれらの "量子補正" が
扱えるようになりたいと言うのは物理屋の要求です.
道は遠いですし,本当に現実を記述するのに必要かどうかはわかりませんが.

112 :132人目の素数さん:2005/08/26(金) 00:13:08
さいきんはみんな物理ばっかりだね


113 :132人目の素数さん:2005/08/26(金) 00:48:58
勤勉な物理屋さんがいるね。おいらもがんばろっと

114 :132人目の素数さん:2005/08/26(金) 08:55:53
What is DG (differential graded) category?

115 :132人目の素数さん:2005/08/26(金) 10:24:34
なんで物理に複素多様体が出てくるの?

116 :132人目の素数さん:2005/08/26(金) 11:16:11
>>111

論文の4章見てみたけど印象としては
D-braneって言ってもたいした数学使ってないんだ
って感じ
わかりやすくは書いてないけど要領よくまとめてある
spectral sequenceの議論はderived category使えば必要なくなるんじゃないかな
この4章程度のことなら岩波基礎数学のホモロジー代数で十分な気がする
この本はわかりやすい

117 :132人目の素数さん:2005/08/26(金) 13:07:59
複素幾何出来るならderived categoryなんて赤ん坊の手をひねるような
もんじゃないの? 少なくともスペクトル系列なんておもちゃみたいなもんだよ。
ホモロジー代数のやっかいなとこは退屈ってだけ(ちと言いすぎだが)。

118 :132人目の素数さん:2005/08/29(月) 00:03:28
Derived Category は柏原Shapiraが最高よ。

119 :57:2005/08/29(月) 00:19:11
おれおれ、おれだよおれ、いま桂利行の代数幾何入門読んでる俺です。
p15 補題1、 3、 13
環Rの素イデアルpは既約イデアルって証明が納得できません。
しかも証明ほとんど3行だし。。。。。。。。。。。。
後今現在やってる事が、論理を追う事は出来るにせよ、
将来的にどういう構造を形成するのか全く見当がつきませんが
それって俺の能力は足りませんか?
はぁ、なんかやるきでねぇ。



120 :132人目の素数さん:2005/08/29(月) 07:41:37
>>119
その本もってないから、「既約イデアル」ってのがよくわからん。√I = I になるイデアルって意味か?
それなら証明は確かに簡単だが。

121 :132人目の素数さん:2005/08/29(月) 09:37:18
>>119

じゃあシャファレビッチは?あれは予備知識あまりいらないよ。
しかも、しっかり代数幾何してる。まあいろいろあたって見るんだな。
相性もあるから。

122 :119:2005/08/29(月) 22:57:58
イデアルaが既約であるとは
a=b∩c(b、cはイデアル)と表されると
a=b,あるいはa=cが成立するという事です。



123 :132人目の素数さん:2005/08/29(月) 23:53:30
このすれみてると日本の数学の将来に不安をおおいに感じる

124 :132人目の素数さん:2005/08/29(月) 23:55:44
質問スレをみて、厨房工房の将来に不安感じる、くらいの間抜けな発言だな

125 :132人目の素数さん:2005/08/30(火) 00:26:31
>>122
その定義に基づくなら
pが素イデアルでp=b∩c、p≠b、b≠cであるとする。
p=b∩c⊂bであるからp≠bによりx∈b\pがとれる。
同様にしてy∈c\pもとれる。すると
xy∈b∩cなのにpは素イデアルだからxはpの元ではない。
これはp=b∩cに反する。
でよくね?

126 :132人目の素数さん:2005/08/30(火) 00:55:43
【選挙】世界経済共同体党又吉イエス氏が千石イエス氏を擁立【唯一神】
http://news18.2ch.net/test/read.cgi/news7/1124359012/

127 :132人目の素数さん:2005/08/30(火) 02:39:17
あの本は余核とか帰納極限とか複素函数論の基本的な知識とか
既知としてあるみたいだから松坂じゃきついんじゃないかな

と超遅レスしてみる

128 :132人目の素数さん:2005/08/30(火) 13:33:51
こんなとこ来ないで自分のペースで勉強するのが一番。2chanellorは所詮数学者にはなれないよ。

129 :132人目の素数さん:2005/08/30(火) 13:42:47
>>128
オマエモナー

ところで、2chanellorじゃなくて2channelorじゃないのか?

130 :132人目の素数さん:2005/08/30(火) 14:31:37
2channelerでしょうよ

131 :132人目の素数さん:2005/08/30(火) 16:19:29
じゃあ2channellerだな

132 :132人目の素数さん:2005/08/30(火) 16:29:46
je 2channelle
tu 2channelles
il 2channelle
nous 2channellons
vous 2channellez
ils 2channellent

ドゥシャネレかニシャネレか

133 :132人目の素数さん:2005/08/30(火) 17:32:00
単数
2channella
2channellae
2channellae
2channellam
2channella

複数
2channellae
2channellarum
2channellis
2channellas
2channellis


134 :132人目の素数さん:2005/08/30(火) 17:34:19
最後“or”で終わるのってどっかの言葉ではあんの?

135 :132人目の素数さん:2005/08/30(火) 17:44:06
>>134
実は日本語にうわっ何をすrqwjgjfがklgor

136 :132人目の素数さん:2005/08/30(火) 17:46:22
senior

137 :132人目の素数さん:2005/08/30(火) 18:10:14
>>135
これがダイイングメッセージになるミステリとかでそうな感じ。
有栖川有栖、“数学板の謎”
とか。

138 :119:2005/08/30(火) 22:03:36
>>125
すみません!その考えでいいと思います。
実は教科書には違う考え方が載っててそれがなんか不備があるとおもってて、
でもなんか別解答考える気力が沸かなくって。。。。。。。。。。。。。。。
でもなんかまたやる気でそうです。。。。。。。。。。。。。。。。。
>>127
そうですか。。。。。。。。集合論はホンと申し訳程度(定期試験で優が出た程度)、
関数論は留数積分やローラン展開程度です。
やっぱリーマン面うんぬんまで行かないとだめですかねぇ?

139 :132人目の素数さん:2005/08/31(水) 05:44:28
桂の代数幾何も松坂の代数なんたらもまじめに読んだことがないのでなんともいえないけど、
桂の代数幾何が一般的な代数幾何の入門書なら、集合論とか関数論に関しては、君の自己申告を信じる限り充分と思う。

ただ、君はかつて>>57で「位相と代数・ガロア理論ぐらいしかしらない」と言っておきながら
>>119のように本当にちゃんと代数を知ってるのかつかみづらい発言もしているので保証は出来ない。

まぁ定期試験がどんなレベルかしらないけど優が来るくらいなら大丈夫だと信じて、
とりあえず代数学、特に環と加群のホモロジー代数あたりをやり直してから再挑戦したほうが良いように見える。

140 :132人目の素数さん:2005/08/31(水) 09:15:21
代数幾何やるなら複素幾何もやらないとなんとかのないコーヒーみたいだろ。
実は俺も複素幾何はよく知らないがw
となると1変数はもちろん多変数複素関数論、超関数論(カレント)、
これらの前提として、ルベーグ積分、線形位相空間論、
他に層コホモロジー、代数トポロジーも必要だなw

141 :132人目の素数さん:2005/08/31(水) 12:49:54
>>138
ちなみに桂の代数幾何ではどうやって証明されてたの?


142 :119:2005/08/31(水) 15:48:34
>>141
pが既約でないとするとp=b∩c(p≠b、p≠c、p⊃b、p⊃c)とかける。
b∩c⊃bcなのでp⊃bcであり、pは素イデアルなので
p⊃b  あるいは p⊃c となる。

まちがってますよね?

143 :132人目の素数さん:2005/08/31(水) 15:49:26
pが既約でないとするとp=b∩c(b≠p、c≠p、b⊃p、c⊃p)とかける。
b∩c⊃bcなのでp⊃bcであり、pは素イデアルなので
p⊃b  あるいは p⊃c となる。

まちがってますよね?

144 :132人目の素数さん:2005/08/31(水) 15:50:06
143が桂のコピー。

145 :132人目の素数さん:2005/08/31(水) 16:02:00
間違ってないよ。

146 :132人目の素数さん:2005/08/31(水) 16:10:22
桂先生も大変だなw

147 :132人目の素数さん:2005/08/31(水) 16:19:23
大変だよ

148 :132人目の素数さん:2005/08/31(水) 16:26:52
>>142
これ見てわかった。キミにはまだその本は早すぎる。
松坂か何か、代数の本を数回読み直したほうがよろし。

ちなみに間違ってると思ったのはb∩c⊃bcのところ

149 :148:2005/08/31(水) 16:28:23
ちなみに間違ってると思ったのはb∩c⊃bcのところ?
最後に?書き忘れたら全然違う意味になった・・・

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